El método de Gauss
El método de Gauss transforma el sistema en otro equivalente escalonado, en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Después se resuelve de abajo arriba. Para ello se trabaja con la matriz ampliada (coeficientes | términos independientes) y solo se permiten tres operaciones, que no cambian las soluciones:
- Intercambiar dos filas.
- Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
- Sumar a una fila un múltiplo de otra.
Ejemplo · 3 ecuaciones con 3 incógnitas
2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3. Con F₂ ← F₂ + (3/2)·F₁ y F₃ ← F₃ + F₁ se elimina la x de las filas 2 y 3; con F₃ ← F₃ − 4·F₂ se elimina la y de la fila 3, que queda −z = 1. Sustituyendo hacia arriba: x = 2, y = 3, z = −1.
Cómo clasificar el sistema (Rouché-Frobenius)
Compara el rango de la matriz de coeficientes A con el de la matriz ampliada A|b y con el número de incógnitas n:
| Condición | Tipo | Soluciones |
|---|---|---|
| rango(A) = rango(A|b) = n | Compatible determinado (SCD) | Una única solución |
| rango(A) = rango(A|b) < n | Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas, dependen de parámetros |
| rango(A) < rango(A|b) | Incompatible (SI) | Ninguna |
En la práctica, al escalonar: si aparece una fila 0 = k con k ≠ 0 es incompatible; si quedan menos ecuaciones útiles que incógnitas, indeterminado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la calculadora usa fracciones?
Para no arrastrar errores de redondeo. Al escalonar aparecen fracciones constantemente; con decimales, un 0,333… mal redondeado puede hacer que un sistema parezca compatible cuando no lo es.
¿Mi profesor hace otras operaciones y me salen otras matrices?
Es normal: hay muchas formas de escalonar (por ejemplo, multiplicando filas para evitar fracciones). Las matrices intermedias cambian, pero la solución final y la clasificación tienen que coincidir.
¿Qué diferencia hay con Gauss-Jordan?
Gauss-Jordan sigue eliminando también por encima de los pivotes hasta dejar una matriz diagonal con unos, de modo que las soluciones se leen directamente sin sustituir hacia atrás.