Ecuaciones de segundo grado

La fórmula general

Toda ecuación de segundo grado se puede escribir como ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0, y sus soluciones son:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

La expresión dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones hay antes de calcularlas:

• Δ > 0: dos soluciones reales distintas (la parábola corta el eje X en dos puntos).
• Δ = 0: una solución doble (la parábola toca el eje X en su vértice).
• Δ < 0: ninguna solución real; hay dos soluciones complejas conjugadas.

Ecuaciones incompletas

Si falta algún término no hace falta la fórmula general:

• Sin término independiente (c = 0): ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 o x = −b/a.
• Sin término en x (b = 0): ax² + c = 0 → x² = −c/a → x = ±√(−c/a), si −c/a ≥ 0.

El vértice de la parábola

La gráfica de y = ax² + bx + c es una parábola con vértice en x = −b/2a. Si a > 0 abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si a < 0, abre hacia abajo y es un máximo. La coordenada y del vértice es −Δ/4a.

Preguntas frecuentes

¿Cómo compruebo si mis soluciones son correctas?

Sustitúyelas en la ecuación: deben dar 0. También puedes usar las relaciones de Cardano-Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁·x₂ = c/a.

¿Qué es la i en las soluciones complejas?

La unidad imaginaria, que cumple i² = −1. Permite tomar raíces de números negativos: √−16 = 4i.

¿Y si tengo un sistema de varias ecuaciones?

Si son lineales, usa la calculadora de sistemas de ecuaciones por Gauss.